Question

已知抛物线C：y=ax²（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

Answer 1

分析：（1）把抛物线方程整理成标准方程，进而可得焦点的坐标．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=ax₀²，根据y′=2ax，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax₀，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．

解答：解：（1）抛物线方程为x²=

1

a

y，故焦点F的坐标为（0，

1

4a

）．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=ax₀²
∵y′=2ax，∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax₀
∴切线L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即2ax₀x-y-ax₀²=0
∴焦点F到切线L的距离d=

|0- 1 4a - ax 2 0 |

(2ax0)2+(-1)2

≥

1

4|a|

当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小．

点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．