Question

已知抛物线C：y=mx²（m＞0），焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，
（1）若抛物线C上有一点R（x_R，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；
（2）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出焦点坐标，再利用抛物线的定义把焦点F的距离为3转化为到准线的距离为3即可求m的值；（也可以直接利用两点间的距离公式求解．）
（2）△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形即是

QA

•

QB

=0，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到A，B两点的坐标进而求得P以及Q的坐标，代入

QA

•

QB

=0，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵抛物线C的焦点F(0，

1

4m

)，
∴|RF|=yR+

1

4m

=2+

1

4m

=3，得m=

1

4

．
（2）联立方程

y=mx2 2x-y+2=0

，
消去y得mx²-2x-2=0，设A（x₁，mx₁²），B（x₂，mx₂²），
则

x1+x2= 2 m x1•x2=- 2 m

（*），
∵P是线段AB的中点，∴P(

x1+x2

2

，

m x 2 1 +m x 2 2

2

)，即P(

1

m

，yp)，∴Q(

1

m

，

1

m

)，
得

QA

=(x1-

1

m

，m

x

2 1

-

1

m

)，

QB

=(x2-

1

m

，m

x

2 2

-

1

m

)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则

QA

•

QB

=0，
即(x1-

1

m

)•(x2-

1

m

)+(m

x

2 1

-

1

m

)(m

x

2 2

-

1

m

)=0，
结合（*）化简得-

4

m2

-

6

m

+4=0，
即2m²-3m-2=0，∴m=2或m=-

1

2

（舍去），
∴存在实数m=2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．

点评：本题考查抛物线的应用以及直线与抛物线的综合问题．解决本题的关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．