Question

（2010•武汉模拟）已知抛物线C：y=

1

2

x2与直线l：y=kx-1没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

．

Answer 1

分析：（1）先设出切点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x₀，kx₀-1），代入两条切线方程，得kx₀-1=x₀x₁-y₁．kx₀-1=x₀x₂-y₂．故直线AB的方程为kx₀-1=x₀x-y，过定点（k，1）
（2）先写出直线PQ的方程y=

kx0-2

x0-k

（x-k）+1，代入抛物线方程y=

1

2

x2，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），要证

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需证明

x3-x0

x4-x0

=

k-x3

x4-k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0，最后利用韦达定理将x₃+x₄和x₃x₄代入即可得证

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），则y₁=

1

2

x12．
由y=

1

2

x2得y′=x，所以y′|x=x1=x1．
于是抛物线C在A点处的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．
设P（x₀，kx₀-1），则有kx₀-1=x₀x₁-y₁．设B（x₂，y₂），同理有kx₀-1=x₀x₂-y₂．
所以AB的方程为kx₀-1=x₀x-y，即x₀（x-k）-（y-1）=0，所以直线AB恒过定点Q（k，1）．
（2）PQ的方程为y=

kx0-2

x0-k

（x-k）+1，与抛物线方程y=

1

2

x2联立，消去y，得
x²-

2kx0-4

x0-k

x+

2kx0-4

x0-k

=0
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），则x₃+x₄=

2kx0-4

x0-k

，x₃x₄=

(2k2-2)x0-2k

x0-k

①
要证

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需证明

x3-x0

x4-x0

=

k-x3

x4-k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0②
由①知，②式
左边=

2(2k2-2)x0-4k

x0-k

-（x+x₀）

2kx0-4

x0-k

+2kx₀
=

2(2k2-2)x0-4k-(k+x0)(2kx0-4)+2kx0(x0-k)

x0-k

=0．
故②式成立，从而结论成立．

点评：本题考察了抛物线的切线方程，直线与抛物线相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题时的重要运用，还要有较强的运算推理能力