Question

（2010•宿州三模）已知抛物线C：y=

1

4

x2-

3

2

xcosθ+

9

4

cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；
（II）已知直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交（I）中轨迹E于A、B两点，若

AB

=2

AM

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）先将抛物线方程然后用θ表示出抛物线的顶点坐标

x0=3cosθ y0=2sinθ

，消去θ，即得抛物线C的顶点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）先求得圆心M（-2，1），由于

AB

=2

AM

，所以M是AB的中点，设l的方程为y=k（x+2）+1，代入轨迹E的方程消去y借助于根与系数的关系，利用M是AB的中点，可求直线方程．

解答：解：（I）将抛物线方程配方得y=

1

4

(x-3cosθ)2+2sinθ，
设抛物线的顶点为p（x₀，y₀），则

x0=3cosθ y0=2sinθ

，消去θ得

x 2 0

9

+

y 2 0

4

=1．
故抛物线C的顶点P的轨迹E的方程：

x 2

9

+

y 2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）由x²+y²+4x-2y=0得圆心M（-2，1），
∵

AB

=2

AM

∴M是AB的中点，易得直线l不垂直x 轴，
可设l的方程为y=k（x+2）+1，代入轨迹E的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

36k2+18k

4+9k2

，
∵M是AB的中点，∴-

36k2+18k

4+9k2

=-4，解得k=

8

9

．
∴直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，即8x-9y+25=0…（12分）

点评：本题主要考查参数法求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，利用联立方程组的方法，属于中档题．