Question

（2012•德阳二模）已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+1，（x＞0），g（x）=ax²-x（x＞0，a＞0），F（x）=f（x）-g（x）
（1）若F（x）在x=2处取得极值，求a；
（2）求函数F（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）与函数g（x）的图象在公共点P（x₀，y₀）处有相同的切线，求证：2＜x₀＜3．

Answer 1

分析：（1）由F′（x）=x²-x-2ax+1，F′（2）=0，得4-2-4a+1=0，由此能求出a．
（2）由F′（x）=x²-x-2ax+1=x²-（1+2a）x+1，方程x²-（1+2a）x+1=0判别式△=（1+2a）²-4=（2a+3）（2a-1），由此能求出函数F（x）的单调区间．
（3）由f（x）、g（x）在公共点P（x₀，y₀）处有相同的切线，知x03-3x0-6=0，由此能够证明2＜x₀＜3．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+1，（x＞0），g（x）=ax²-x（x＞0，a＞0），
∴F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-ax2+x+1，
∴F′（x）=x²-x-2ax+1，
由F′（2）=0，得4-2-4a+1=0，
∴a=

3

4

．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-ax2+x+1，
∴F′（x）=x²-x-2ax+1=x²-（1+2a）x+1，
方程x²-（1+2a）x+1=0判别式△=（1+2a）²-4=（2a+3）（2a-1），
当0＜a≤

1

2

时，△≤0，F（x）在（0，+∞）单调增，
当a＞

1

2

时，方程x²-（1+2a）x+1=0的两根

1+2a± 4a2+4a-3

2

的两根均为正数，
∴F（x）在（0，

1+2a- 4a2+4a-3

2

），（

1+2a+ 4a2+4a-3

2

，+∞）单调增，
在（

1+2a- 4a2+4a-3

2

，

1+2a+ 4a2+4a-3

2

）单调减．
（3）∵f（x）、g（x）在公共点P（x₀，y₀）处有相同的切线，
∴

x02-x0=2ax0-1 1 3 x03- 1 2 x02+1=ax02-x0

，
∴x03-3x0-6=0，
令φ（x）=x³-3x-6，（x＞0）
则φ′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴φ（x）在（0，1）单调减，在（1，+∞）单调增，
又∵φ（0）=-6，φ（1）=-8，φ（2）=-4＜0，φ（3）=12＞0，
∴φ（x）=0在（0，+∞）上仅有唯一解且解在（2，3）内，
∴2＜x₀＜3．

点评：本题考查函数的极值、单调区间的求法及其应用，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数知识的灵活运用．