Question

（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面

是的中点，作交于点。

   （I）证明：平面；

   （Ⅱ）证明：平面；

   （Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

解析：（I）证明：连结交于，连结

    底面是正方形，点是的中点，

    在中，是中位线，，

    而平面且平面，所以，平面

（Ⅱ）证明：底面且底面，

，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线。

   ①

同样由底面得

底面是正方形，有平面。

而平面 ②

由①和②推得平面

而平面

又且，所以平面

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，故是二面角的平面角

由（2）知，

设正方形的边长为，则

   

在中，

在中，

所以，二面角的大小为

方法二；如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设

（I）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。

依题意得A（,0,0）,P(0,0, ),

底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为）

且，这表明

而平面且平面平面

（Ⅱ）证明：依题意得，

又，故

由已知，且，所以平面

（Ⅲ）解：设点的坐标为，则则

从而所以

由条件知，，即

，解得

点的坐标为，且

    

即，故二面角的平面角。

，且

所以，二面角的大小为（或用法向量求）