Question

已知函数f（x）=e^x|x²-a|（a≥0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的单调性及单调区间,根的存在性及根的个数判断

专题：分类讨论,转化思想,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出a=1的f（x）的解析式，分别求出各段的导数，解不等式即可得到减区间；
（2）讨论a=0，a＞0，通过导数判断单调区间和极值，由方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，即可求得m的范围，进而得到m的最大值．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=

ex(x2-1)，|x|＞1 ex(1-x2)，|x|≤1

，
当|x|＞1时，f′（x）=e^x（x²+2x-1），
由f′（x）≤0得-1-

2

≤x≤-1+

2

，
所以f（x）的单调减区间是（-1-

2

，-1）；
当|x|≤1时，f′（x）=-e^x（x²+2x-1），
由f′（x）≤0得x≥-1+

2

或x≤-1-

2

．
所以f（x）的单调减区间是（-1+

2

，1）；
综上可得，函数f（x）的单调减区间是（-1-

2

，-1），（-1+

2

，1）；

（2）当a=0时，f（x）=e^x•x²，f′（x）=e^x•x（x+2），
当x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）递增，当-2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增．
f（-2）为极大值，且为4e^-2，f（0）为极小值，且为0．
当a＞0时，f（x）=

ex(x2-a)，|x|＞ a ex(a-x2)，|x|≤ a

，
通过导数可得f（x）在（-∞，-

a+1

-1）递增，在（-

a+1

-1，-

a

）递减，
在（-

a

，

a+1

-1）递增，在（

a+1

-1，

a

）递减，（

a

，+∞）递增．
则y=f（x）有两个极大值点，
f（-

a+1

-1）=2e-1-

a+1

（1+

a+1

），f（

a+1

-1）=2e

a+1

-1（

a+1

-1），
且当x=a+1时，f（a+1）=e^a+1（a²+2a+1）＞2e

a+1

-1（

a+1

-1）=f（

a+1

-1）．
若方程f（x）=m恰好有一个正根，则m＞f（

a+1

-1）．（否则有两个正根），
又方程f（x）=m恰好有一个负根，则m=f（-1-

a+1

），
令g（x）=e^-x（x+1），x≥1．g′（x）=-xe^-x＜0，
g（x）在x≥1递减，g（x）≤g（1）=

2

e

，当且仅当x=1取得等号，
f（-1-

a+1

）≤

4

e2

等号当且仅当x=0，此时f（

a+1

-1）=2e

a+1

-1（

a+1

-1）=0，
则f（-

a+1

-1）＞f（

a+1

-1），
要使方程f（x）=m的恰好有一个正根和一个负根，实数m的最大值为

4

e2

．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查分类讨论的思想方法，运用函数和方程的转化思想是解题的关键．