Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

n-1

n

a_n-1（n≥2），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意，可得a_n=

n-1

n

•

n-2

n-1

•

n-3

n-2

…

1

2

•1=

1

n

（n≥2），再验证n=1时是否符合该式即可得到答案．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

n-1

n

a_n-1（n≥2），
∴

an

an-1

=

n-1

n

，

an-1

an-2

=

n-2

n-1

，…，

a2

a1

=

1

2

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a₁
=

n-1

n

•

n-2

n-1

•

n-3

n-2

…

1

2

•1=

1

n

（n≥2），
又n=1时a₁=1，满足上式，
∴a_n=

1

n

，
故答案为：

1

n

．

点评：本题考查数列递推式的应用，着重考查累乘法，属于中档题．