【题目】己知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)﹣g(x)=0的一个解,求t的值;
(2)当0<a<1且t=﹣1时,解不等式f(x)≤g(x);
(3)若函数F(x)=af(x)+tx2﹣2t+1在区间(﹣1,2]上有零点,求t的取值范围.
【答案】解:(1)∵1是关于x的方程f(x)﹣g(x)=0的一个解,
∴loga2﹣2loga(2+t)=0,
∴2=(2+t)2 ,
∴t=﹣2;
(2)当0<a<1且t=﹣1时,
不等式f(x)≤g(x)可化为
loga(x+1)≤2loga(2x﹣1),
故,
解得,<x≤
;
(3)F(x)=af(x)+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2,
令tx2+x﹣2t+2=0,
即t(x2﹣2)=﹣(x+2),
∵x∈(﹣1,2],∴x+2∈(1,4],
∴t≠0,x2﹣2≠0;
∴=﹣
=﹣[(x+2)+
]+4,
∵2≤(x+2)+
≤
,
∴﹣≤﹣[(x+2)+
]+4≤4﹣2
,
∴﹣≤
≤4﹣2
,
∴t≤﹣2或t≥.
【解析】(1)由题意得loga2﹣2loga(2+t)=0,从而解得.
(2)由题意得loga(x+1)≤2loga(2x﹣1),由对数函数的单调性可得 , 从而解得.
(3)化简F(x)=tx2+x﹣2t+2,从而令tx2+x﹣2t+2=0,讨论可得=﹣
=﹣[(x+2)+
]+4,从而解得.
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【题目】某学校的特长班有50名学生,其中有体育生20名,艺术生30名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于50次/分到75次/分之间,现将数据分成五组,第一组,第二组
,…,第五组
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(Ⅰ)求的值,并求这50名同学心率的平均值;
(Ⅱ)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为0.8,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax﹣a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).
(Ⅰ)当a=e时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到y=cos2x的图象,则只要将f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
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【题目】如图AB是抛物线C:x2=4y过焦点F的弦(点A在第二象限),过点A的直线交抛物线于点E,交y轴于点D(D在F上方),且|AF|=|DF|,过点B作抛物线C的切线l
(1)求证:AE∥l;
(2)当以AE为直径的圆过点B时,求AB的直线方程.
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【题目】设全集U=R.
(1)解关于x的不等式|x﹣1|+a﹣1>0(a∈R);
(2)记A为(1)中不等式的解集,B为不等式组 的整数解集,若(UA)∩B恰有三个元素,求a的取值范围.
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【题目】解答
(1)已知a,b为正整数,a≠b,x>0,y>0.试比较 +
与
的大小,并指出两式相等的条件.
(2)用(1)所得结论,求函数y= +
,x∈(0,
)的最小值.
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