Question

【题目】己知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，
∴loga2﹣2loga（2+t）=0，
∴2=（2+t）2 ，
∴t=﹣2；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，
不等式f（x）≤g（x）可化为
loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），
故，
解得，＜x≤；
（3）F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴=﹣=﹣[（x+2）+]+4，
∵2≤（x+2）+≤，
∴﹣≤﹣[（x+2）+]+4≤4﹣2，
∴﹣≤≤4﹣2，
∴t≤﹣2或t≥．
【解析】（1）由题意得loga2﹣2loga（2+t）=0，从而解得．
（2）由题意得loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），由对数函数的单调性可得 ， 从而解得．
（3）化简F（x）=tx2+x﹣2t+2，从而令tx2+x﹣2t+2=0，讨论可得=﹣=﹣[（x+2）+]+4，从而解得．