Question

1．已知定义在R上的减函数y=f（x），若实数a，b使不等式f（a²-2a）≥f（b²-2b）恒成立，则当1≤b≤2时，$\frac{a+b}{a+1}$的取值范围是（　　）

• A． [0，3]
• B． （0，3]
• C． [1，2]
• D． （1，2]

Answer 1

分析 根据y=f（x）是定义在R上的减函数，得不等式f（a²-2a）≥f（b²-2b）等价于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐标系如图，画出不等式组表示的平面区域，将动点P（a，b）在区域内运动并结合直线的斜率公式，可得取值范围．

解答 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a≥（b²-2b）成立，
即a²-2a≤b²-2b，化简得（a-b）（a+b-2）≤0
以a、b分别为横坐标和纵坐标，
建立aob直角坐标系，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{（a-b）（a+b-2）≥0}\\{1≤b≤2}\end{array}\right.$表示的平面区域，
则$\frac{a+b}{a+1}$=1+$\frac{b-1}{a+1}$，而$\frac{b-1}{a+1}$表示区域内点
与A（-1，1）的斜率，
其中B（1，1），C（0，2）
∴k_AB=0，k_AC=$\frac{2-1}{0+1}$=1，
∴0≤$\frac{b-1}{a+1}$≤1，
∴1≤$\frac{a+b}{a+1}$≤2，
故选：C

点评 本题以函数的单调性为载体，求解不等式恒成立时参数的取值范围，着重考查了函数单调性、二元一次不等式表示的平面区域和直线的斜率公式等知识，属于中档题．