Question

若直线x+y+m=0（m∈R）不可能是曲线f（x）=ax²+lnx的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤0
B．
C．
D．a≥0

Answer 1

【答案】分析：先将条件“对任意实数m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”转化成f'（x）=-1无解，然后分离a后构造函数y=，再平方和换元后由二次函数的性质求出此函数的值域，最后求出值域补集为所求的a的范围．
解答：解：由题意得，f′（x）=2ax+（x＞0），且直线x+y+m=0（m∈R）的斜率为-1，
∵对任意实数m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，
∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为-1，
即2ax+=-1无正实数根，分离a得a=①，也就是①无正实数根，
令y==，
由x＞0得，设t=＞0，则y=＜0，
∴a≥0，
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键是对条件“对任意实数m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线”的正确转化，还考查利用平方和换元后由二次函数的性质求出此函数的值域，以及转化的数学思想和分离常数法．