Question

5．已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=-x²+4x-3．
（1）求这个函数在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象直接写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据当x∈（0，+∞）时的解析式，利用奇函数的性质，求得x≤0时函数的解析式，从而得到函数在R上的解析式．
（2）根据函数的解析式、奇函数的性质，作出函数的图象，数形结合可得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0时，f（x）=x²+4x+3．
当x=0时，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．       
（2）作出f（x）的图象（如图所示）
数形结合可得函数f（x）的减区间：
（-∞，-2）、（2，+∞）；增区间为[-2，0）、（0，2]．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，作函数的图象，求函数的单调区间，属于中档题．