Question

已知椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为，离心率，直线过点与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点的坐标与的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）．

试题分析：（1）设，椭圆上的点到椭圆右焦点的最大距离为，离心率，可得求得a和b；（2）由（1）可得椭圆的方程，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），(ⅰ) 当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立；（ⅱ）当l不垂直x轴时，设l的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得和的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，因为在椭圆上，
将代入椭圆方程，得，即可求出k的值和P的坐标以及l的方程．
解：（1）由条件知，解得，
所以，故椭圆方程为．
（2）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立．
由（Ⅰ）知C的方程为+=6．设
（ⅰ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立．
（ⅱ）
将
    
于是 , =,
C 上的点P使成立的充要条件是，
设，则
所以 ．因为在椭圆上，
将代入椭圆方程，得：，所以，
当时，， ；
当时，， ．
综上，C上存在点使成立，
此时的方程为．