Question

已知圆C经过两点，且在轴上截得的线段长为，半径小于5.（1）求直线与圆C的方程；（2）若直线，直线与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程.

Answer 1

（1）直线PQ：，圆C方程：
（2）直线或.

试题分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；
（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．
试题解析：（1）直线PQ的方程为即直线PQ的方程为x+y-2=0，
C在PQ的中垂线即y=x-1上，
设C（n，n-1），则r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由题意，有 ∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r²=13或37（舍去），
∴圆C的方程为．
（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由,消去y得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1-m，x₁x₂=
又∵以AB为直径的圆经过坐标原点∠AOB=90°，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴，将韦达定理的结果代入并整理化间得m²+m-12=0，
∴m=3或-4（均满足△＞0），
∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0．