【题目】在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足b2=ac,cosB=.
(1)求+
的值;
(2)设=
,求三边a、b、c的长度.
【答案】(1) (2)a,b,c的长度分别为1,
,2或2,
,1.
【解析】
(1)运用同角的平方关系,可得sinB,再由正弦定理,可得sin2B=sinAsinC,再由切化弦和两角和的正弦公式,化简即可得到所求值;
(2)由向量的数量积的定义可得ac=2,再由余弦定理可得a+c=3,即可得到所求三边的长度.
(1)由cosB=可得,sinB=
=
.
∵b2=ac,∴根据正弦定理可得sin2B=sinAsinC.
又∵在△ABC中,∠A+∠B+∠C=π,
∴+
=
+
==
==
=
.
(2)由=
得:|
||
|cosB=cacosB=
,
又∵cosB=,∴b2=ca=2,
又由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=2.
得(a+c)2-2ac-ac=2,
解得a+c=3,
又∵b2=ca=2,∴b.
∴三边a,b,c的长度分别为1,,2或2,
,1.
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【题目】已知圆与直线
相切于点
,圆心
在
轴上.
(1)求圆的方程;
(2)过点且不与
轴重合的直线
与圆
相交于
两点,
为坐标原点,直线
分别与直线
相交于
两点,记
,
的面积分别是
,求
的取值范围.
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【题目】(题文)已知是直线
上的动点,点
的坐标是
,过
的直线
与
垂直,并且
与线段
的垂直平分线相交于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设曲线上的动点
关于
轴的对称点为
,点
的坐标为
,直线
与曲线
的另一个交点为
(
与
不重合),是否存在一个定点
,使得
三点共线?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量
的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量
的值依次为
)建立模型①:
;根据2010年至2016年的数据(时间变量
的值依次为
)建立模型②:
.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
,圆
.
(1)求的取值范围,并求出圆心坐标;
(2)有一动圆的半径为
,圆心在
上,若动圆
上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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【题目】如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
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【题目】2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额.
(1)完成列联表,并回答能否有
的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合计 |
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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