Question

已知两点M和N分别在直线y＝mx和y＝－mx(m＞0)上运动，且|MN|＝2，动点P满足：2＝＋ (O为坐标原点)，点P的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；

(2)过点(0,1)作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.

Answer 1

(1)由2＝＋，得P是MN的中点.

设P(x，y)，M(x₁，mx₁)，N(x₂，－mx₂)，依题意得：

，

消去x₁，x₂，整理得＋＝1.

当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

当m＝1时，方程表示圆.

(2)由m＞1知方程表示焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线C恒有两交点，直线斜率不存在时不符合题意.

可设直线l的方程为y＝kx＋1，

直线与椭圆交点A(x₃，y₃)，B(x₄，y₄).

⇒(m⁴＋k²)x²＋2kx＋1－m²＝0.

x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝.

y₃y₄＝(kx₃＋1)(kx₄＋1)＝＋＋1.

要使∠AOB为锐角，只需·＞0，

∴x₃x₄＋y₃y₄＝＞0.

即m⁴－(k²＋1)m²＋1＞0，可得m²＋＞k²＋1，

对于任意m＞1恒成立.

而m²＋＞2，∴k²＋1≤2，－1≤k≤1.

所以k的取值范围是[－1,1].