【题目】如图,在三棱锥中,分别是的中点,
(1) 求证:平面;
(2) 求异面直线与所成角的余弦值;
(3) 求点到平面的距离。
【答案】
【解析】
试题分析:(I)欲证AO⊥平面BCD,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直,而CO⊥BD,AO⊥OC,BD∩OC=O,满足定理;
(II)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,异面直线AB与CD的向量坐标,求出两向量的夹角即可;
(III)求出平面ACD的法向量,点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可.
解:(I)证明:连结OC
在中,由已知可得
而 即
平面
(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中,
是直角斜边AC上的中线,
(III)解:设点E到平面ACD的距离为
在中,
而
点E到平面ACD的距离为
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|3x﹣ |.
(1)求不等式f(x)<1的解集;
(2)若实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0且a+b+c= .求证: + + ≥ .
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【题目】如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点,EF∩BD=G.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.
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【题目】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、CD和SC的中点.求证:
(1)直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
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【题目】如图,在正方体ABCD中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为B的中点,F为的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )
A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)
C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)
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【题目】有一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线构成,如图所示.为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度;
(2)现有一辆载重汽车宽米,高米,试判断该车能否安全通过隧道?
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