Question

（Ⅰ）已知tanα=

1

4

，则cos2α+sin²α的值为

 

．
（Ⅱ）已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=

1

5

．
（1）求tanα的值；
（2）把

1

cos2α-sin2α

用tanα表示出来，并求其值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）运用二倍角公式以及同角的平方关系和商数关系，注意添分母1，再由弦化切，即可得到；
（Ⅱ）（1）运用同角的平方关系和商数关系，计算即可得到；
（2）运用二倍角公式以及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到所求值．

解答： 解：（Ⅰ）cos2α+sin²α=cos²α-sin²α+sin²α=cos²α
=

cos2α

cos2α+sin2α

=

1

1+tan2α

=

1

1+ 1 16

=

16

17

；
故答案为：

16

17

（Ⅱ）（1）sinα+cosα=

1

5

，平方可得1+2sinαcosα=

1

25

，
sinαcosα=-

12

25

＜0，
由α是三角形的内角，则sinα＞0，cosα＜0，
sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1+ 24 25

=

7

5

，
解得sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
则tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

；
（2）

1

cos2α-sin2α

=

sin2α+cos2α

cos2α-sin2α-2sinαcosα

=

tan2α+1

1-tan2α-2tanα

=

(- 4 3 )2+1

1-(- 4 3 )2-2×(- 4 3 )

=

25

17

..

点评：本题考查二倍角公式和同角的平方关系及商数关系的运用，考查运算能力，属于基础题．