Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N⁺），数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），b₃=5，其前9项和为63．求：数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，说明数列{

Sn

n

}是以

S1

1

=1为首项，以

1

2

为公差的等差数列，求其通项公式后再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n=n；
由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，得2b_n+1=b_n+2+b_n，说明数列{b_n}是等差数列，由已知列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．

解答： 解：由2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N⁺），得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，
∴数列{

Sn

n

}是以

S1

1

=1为首项，以

1

2

为公差的等差数列，
则

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

．
∴Sn=

n(n+1)

2

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n2+n

2

-

n2-n

2

=n．
a₁=1适合上式，
∴a_n=n；
由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，得2b_n+1=b_n+2+b_n，
∴数列{b_n}是等差数列，
设首项为b₁，公差为d，
则

b3=b1+2d=5 S9=9b1+ 9×8d 2 =63

，解得：

b1=3 d=1

．
∴b_n=3+（n-1）=n+2．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．