Question

（2012•无为县模拟）已知二次函数y=f（x）（z∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x＞0时，恒有f（x）≤tx，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意可设f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0），由f（0）=-3可求得a，从而可得f（x）的解析式；
（2）由题意可得t≥

-x2+4x-3

x

对x＞0恒成立，利用基本不等式可求得

-x2+4x-3

x

的最大值，从而可求得实数t的取值范围．

解答：解：（1）由题意设二次函数y=f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）…2分
当x=0时，y=-3，即有-3=a（-1）×（-3），
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3…6分
（2）∵x＞0时，恒有f（x）≤tx，
∴-x²+4x-3≤tx，
∴t≥

-x2+4x-3

x

对x＞0恒成立，…8分
而

-x2+4x-3

x

=-x-

3

x

+4=-（x+

3

x

）+4≤-2

3

+4（当且仅当x=

3

x

即x=

3

时取等号成立）…10分
∴t≥4-2

3

．
故实数t的取值范围为[4-2

3

，+∞）…12分

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的应用，考查分析、转化与运算的能力，属于中档题．