Question

（2010•重庆三模）已知二项式（2x³-

1

x

）ⁿ的展开式中奇数项二项式系数和为64，则其展开式中常数项为

14

．

Answer 1

分析：由题意可得 2ⁿ=64+64=128，故n=7，令展开式通项公式中x的系数等于0，求出r=6，由此求得展开式中常数项．

解答：解：∵已知二项式（2x³-

1

x

）ⁿ的展开式中奇数项二项式系数和为64，
由于奇数项二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，都等于

2n

2

，
故偶数项二项式系数和也为64，∴2ⁿ=64+64=128，∴n=7．
故二项式（2x³-

1

x

）ⁿ的展开式中通项公式为 T_r+1=C₇^r （2x³）^7-r (-1)r(x-

1

2

)r=(-1)r

27-rC

r 7

 x 

42-7r

2

，
令42-7r=0，可得r=6，
故展开式中常数项为 （-1）⁶2^7-6C₇⁶=14，
故答案为 14．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．