Question

【题目】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1 .

(1)证明:平面AB1C⊥平面BB1C1C

(2)若AB⊥B1C,直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°,求直线AB1与平面A1B1C 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）推导出，，从而⊥平面，由此能证明平面⊥平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，由直线与平面所成的角为，得，设，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．

证明：（1）连接交于O，连接AO,侧面为菱形，

∴,，0为的中点，

∴又,⊥平面,平面

∴平面⊥平面

（2）由,,,∴⊥平面ABO，平面ABO, ∴从而AO,OB,两两互相垂直，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,直线AB与平面所成的角为30°。

设AO=1，则,又，是边长为2的等边三角形

∴,,,,

,,

设是平面的法向量，则

令，直线与平面所成的角为

则,

直线与平面所成角的正弦值为.