Question

如图，四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱，

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若棱上存在一点，使得，

当二面角的大小为时，求实数的值．

 

Answer 1

【答案】

以所在直线分别为轴，轴，轴建系

（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：(I)（Ⅰ）连接BD交AC于点O

∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD

又∵AD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD

∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD

∴AC⊥A₁B。

以所在直线分别为轴，轴，轴建系

（Ⅱ）∵   ∴，设平面的一个法向量为，

，

令则，，

∴ 6分

设平面的一个法向量为

,

 

∴   8分

       10分

∴    12分

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。本题利用空间向量知识解答，关键点是建立适当地空间直角坐标系。