Question

8．设a≥0，若函数y=cos²x-asinx+b的值域为[-4，0]．
（1）试求a与b的值；
（2）求出使y取得最大值、最小值时的x值；
（3）求函数的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）令sinx=t，由二次函数区间的最值，分类讨论可得；
（2）由（1）可得y=-（t+1）²，由二次函数和三角函数知识易得；
（3）由正弦函数的单调性结合复合函数单调性可得．

解答 解：（1）令sinx=t，当x∈R时，t∈[-1，1]，
换元可得y=1-t²-at+b=-（t+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
∵a≥0，∴二次函数的对称轴t=-$\frac{a}{2}$≤0，
结合抛物线开口向下可得当-$\frac{a}{2}$≤-1即a≥2时，
t=-1时，y_max=a+b=0，t=1时，y_min=-a+b=-4，
联立解得a=2，b=-2符合题意；
当-1＜-$\frac{a}{2}$≤0即0≤a＜2时，
t=-$\frac{a}{2}$时，y_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1=0，t=1时，y_min=-a+b=-4，
联立解得a=-6且b=-10，或a=2且b=-2均不符合题意；
综上可得a为2且b为-2；
（2）由（1）可得y=-（t+1）²，
故当t=sinx=1即x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数取最小值-4；
当t=sinx=-1即x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数取最大值0；
（3）由复合函数单调性可知，当x∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]时，t=sinx单调递增，原函数单调递减；
当x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]时，t=sinx单调递减，原函数单调递增．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及分类讨论思想和复合函数单调性，属中档题．