Question

（2013•乌鲁木齐一模）已知函数f（x）=

lnx

a

-x．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（I）求导数f′（x）=

1

ax

-1，据题意k=f′（1）=0，解得a值，再在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）分a＜0，a＞0两种情况讨论：a＜0时易判断不成立；a＞0时，转化为f（x）的最大值小于等于-1，构造函数可判断a的取值范围；

解答：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

ax

-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=

1

a

-1，
依题意

1

a

-1=0，解得a=1，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减；
所以函数f（x）的单调增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；      
（Ⅱ）若a＜0，因为此时对一切x∈（0，1），都有

lnx

a

＞0，x-1＜0，所以

lnx

a

＞x-1，与题意矛盾，
又a≠0，故a＞0，由f′（x）=

1

ax

-1，令f′（x）=0，得x=

1

a

．
当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＞

1

a

时，f′（x）＜0，函数f（x） 单调递减；
所以f（x）在x=

1

a

处取得最大值

1

a

ln

1

a

-

1

a

，
故对?x∈R⁺，f（x）≤-1恒成立，当且仅当对?a∈R⁺，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1恒成立．
令

1

a

=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．则g′（t）=lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；当t＞1时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增；
所以g（t）在t=1处取得最小值-1，
因此，当且仅当

1

a

=1，即a=1时，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1成立．
故a的取值集合为{1}．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性、曲线上某点切线方程，考查函数的最值求解，考查分类讨论思想，考查函数恒成立问题的解决，转化函数最值是解决恒成立问题的常用方法．