如图.已知直线l1:y=2x+m与抛物线C1:y=ax2和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切.F是C1的焦点．(1)求m与a的值,(2)设A是C1上的一动点.以A为切点作抛物线C1的切线l.直线l交y轴于点B.以FA.FB为邻边作平行四边形FAMB.证明:点M在一条定直线上,的条件下.记点M所在的定直线为l2.直线l2与y轴交点为N.连接MF交抛物线C1于P.Q两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知直线l₁：y=2x+m（m＜0）与抛物线C₁：y=ax²（a＞0）和圆C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

【答案】分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线．
（3）设直线MF：y=kx+

，代入y=

得：

，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，最后利用函数思想即可求得△NPQ的面积S的取值范围．
解答：解：（1）由已知，圆C₂：x²+（y+1）²=5的圆心为C₂（0，-1），半径

．（1分）
由题设圆心到直线l₁：y=2x+m的距离

．（3分）
即

，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l₁与抛物线的相切点为A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得

，

．（6分）
代入直线方程得：

，∴

所以m=-6，

．（7分）
（2）由（1）知抛物线C₁方程为

，焦点

．（8分）
设

，由（1）知以A为切点的切线l的方程为

．（10分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为

（11分）
所以

，

，（12分）
∴

（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线

上．（14分）
（3）设直线MF：y=kx+

，代入y=

得：

，得x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
S_△NPQ=

|NF||x₁-x₂|=

×3×

∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
△NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种

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