Question

（理科）某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是

2

3

，（1）若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；
（2）若5人中恰有r人合格的概率为

80

243

，求r的值；
（3）记测试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C₃¹=3种，进而得到答案．
（2）每位考生测试合格的概率P=

2

3

，测试不合格的概率为1-P=

1

3

，则得到P5(r)=C5rPr(1-P)5-r=

80

243

，再解方程可得答案．
（3）由题意可得：ξ～B(5，

2

3

)，进而根据二项分布的有关公式可得答案．

解答：解：（1）由题意可得：老师进行选择时共有6种不同的选法，体育教师不坐后排的不同选法有C₃¹=3种，
记“体育教师不坐后排”为事件A，则P(A)=

C31

C61

=

1

2

．-----（4分）
（2）每位考生测试合格的概率P=

2

3

，测试不合格的概率为1-P=

1

3

则P5(r)=C5rPr(1-P)5-r=

80

243

，即C5r(

2

3

)r(

1

3

)5-r=

C5r2r

35

=

80

243

，
∴C₅^r2^r=80，解得：r=3，4．
（3）由题意可得：ξ～B(5，

2

3

)，
∴Eξ=5×

2

3

=

10

3

，Dξ=5×

2

3

×

1

3

=

10

9

----（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等可能事件的概率与独立重复试验的概率公式，以及二项分布计算期望与方程的公式，即Eξ=np，Dξ=np（1-p），此题属于基础题．