Question

已知幂函数f（x）的图象经过点（

1

8

，

2

4

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x₁f（x₁）＞x₂f（x₂）；②x₁f（x₁）＜x₂f（x₂）；③

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

；④

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

．其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．

解答：解：依题意，设f（x）=x^α，则有（

1

8

）^α=

2

4

，即（

1

8

）^α=（

1

8

）

1

2

，
所以α=

1

2

，于是f（x）=x

1

2

．
由于函数f（x）=x

1

2

在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当x₁＜x₂时，必有f（x₁）＜f（x₂），
从而有x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故②正确；
又因为

f(x1)

x1

，  

f(x2)

x2

，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数
图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，所以③正确．
答案②③

点评：本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．