Question

（1）设f（x）=

2x+b       x＞0 0              x=0，试确定b的值，使 lim x→0 f (x)存在 1+2x       x＜0

；
（2）f（x）为多项式，且

lim

x→∞

f(x)-4x3

x

=1，

lim

x→0

f(x)

x

=5，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）先求出

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0+

（2x+b）=b，

lim

x→0-

f（x）=

lim

x→0-

（1+2^x）=2，再由

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0-

f（x），确定b的值．
（2）由于f（x）是多项式，且

lim

x→∞

f(x)-4x3

x

=1，可设f（x）=4x³+x²+ax+b，再由

lim

x→0

（4x²+x+a+

b

x

）=5，确定f（x）的表达式．

解答：解：（1）

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0+

（2x+b）=b，

lim

x→0-

f（x）=

lim

x→0-

（1+2^x）=2，
当且仅当b=2时，

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0-

f（x），故b=2时，原极限存在．
（2）由于f（x）是多项式，且

lim

x→∞

f(x)-4x3

x

=1，
∴可设f（x）=4x³+x²+ax+b（a、b为待定系数）．
又∵

lim

x→0

f(x)

x

=5，即

lim

x→0

（4x²+x+a+

b

x

）=5，
∴a=5，b=0，即f（x）=4x³+x²+5x．

点评：（1）函数在某点处有极限，与其在该点处是否连续不同．
（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值，也就是对初等函数而言，求极限就是求函数值，使极限运算大大简化．