Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要利用好所给的在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；
（Ⅱ）要结合（Ⅰ）的结论将问题具体化，在通过游离参数化为求函数?（t）=t²-2t+1最小值问题即可获得问题的解答；
（Ⅲ）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．

解答：解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数
故

g(3)=4 g(2)=1

?

9a-6a+1+b=4 4a-4a+1+b=1

?

a=1 b=0

当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数
故

g(3)=1 g(2)=4

?

9a-6a+1+b=1 4a-4a+1+b=4

?

a=-1 b=3

∵b＜1
∴a=1，b=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x²-2x+1.f(x)=x+

1

x

-2．
方程f（2^x）-k•2^x≥0化为2x+

1

2x

-2≥k•2x
1+(

1

2x

)2-2

1

2x

≥k，
令

1

2x

=t，k≤t²-2t+1
∵x∈[-1，1]∴t∈[

1

2

，2]记?（t）=t²-2t+1
∴φ（t）_min=0
∴k≤0
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0
化为|2x-1|+

1+2k

|2x-1|

-(2+3k)=0
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0
令|2^x-1|=t，则方程化为t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程|2x-1|+

1+2k

|2x-1|

-(2+3k)=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2^x-1|的图象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1
记?（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k）
则

?(0)=1+2k＞0 ?(1)=-k＜0

或

?(0)=1+2k＞0 ?(1)=-k=0 0＜ 2+3k 2 ＜1

∴k＞0．

点评：本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想．值得同学们体会反思．