Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，e≈2.718285．
（I）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围；
（III）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer 1

解：（I）f′（x）=lnx+1，
当单调递减，
当单调递增，
所以，即时，；
，即时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
综上得
（II）xlnx≥-x²+ax-2，∴
设，
∴
x∈[1，e]，h′（x）≥0，h（x）单调递增，
∴存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，即
（III）问题等价于证明成立
由（I）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到
设（x∈（0，+∞））
∴，可解得函数在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴，
分析可得有-1＜-，即（xlnx）_min＞（-1）_max，
则成立；
从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．
分析：（I）求导函数f′（x）=lnx+1，令其等于0，则，由于x∈[t，t+1]（t＞0），故进行分类讨论，即，，从而确定函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）由题意，并分离参数得xlnx≥-x²+ax-2，，因为存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，故有
（III）问题等价于证明，分别求左边的最小值，右边的最大值，从而问题得证．
点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．