Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为3的正方体，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1。

（1）求证：E，B，F，D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC₁B₁；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成锐二面角大小，求tanθ。

Answer 1

解：（1）证明：在DD₁上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD₁N是平行四边形，
所以D₁F//CN，
同理四边形DNEA是平行四边形，
所以EN//AD，且EN=AD，
又BC//AD，且AD=BC，
所以EN//BC，EN=BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN//BE，
所以D₁F//BE，
所以四点共面。
（2）因为
所以∽△MBG，
所以，即，
所以MB=1，
因为AE=1，
所以四边形ABME是矩形，
所以EM⊥BB₁
又平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁，
且EM在平面ABB₁A₁内，
所以面。
（3）面，
所以BF，MH，，
所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，
所以，
∵ME=AB=3，∽△MHB，
所以3：MH=BF：1，BF=，
所以MH=，
所以。