Question

在正三角形ABC中，E、F分别是AB、AC边上的点，满足

AE

EB

=

CF

FA

=

1

2

（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B、A₁C． （如图2）求证：A₁E⊥平面BEC．

Answer 1

分析：不妨设正三角形ABC的边长为3，在图1中取BE中点D，连接DF，根据

AE

EB

=

CF

FA

=

1

2

，求出AE=1，AF=2而∠A=60°，EF⊥AE，在图2中有A₁E⊥EF，BE⊥EF，根据二面角的平面角的定义可知∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角，而二面角A₁-EF-B为直二面角，则A₁E⊥BE
又BE∩EF=E，满足线面垂直的判定定理，则A₁E⊥平面BEC．

解答：证明：不妨设正三角形ABC的边长为3，则
在图1中，取BE中点D，连接DF，
则∵

AE

EB

=

CF

FA

=

1

2

，
∴AE=1，AF=2而∠A=60°，∴EF⊥AE
∴在图2中有A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角
∵二面角A₁-EF-B为直二面角，∴A₁E⊥BE
又∵BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEC．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的应用等有关知识，同时考查了空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．