Question

关于x的方程cosx-lg|x|=0的根的个数（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6

Answer 1

【答案】分析：在同一坐标系内作出y=cosx与y=lg|x|的图象，研究两个图象交点的个数即可得到原方程根的个数．利用根的存在性定理和余弦函数、对数函数的图象，分析出当x≥0时两个图象有3个不同的交点，再结合两个函数都为偶函数可得原方程有6个实数根．
解答：解：原方程即cosx=lg|x|，在同一坐标系内作出y=cosx与y=lg|x|的图象

由于两个函数均为偶函数，因此方程的根必定为偶数，只须研究当x≥0时的图象
∵x≥0时，cos=＞lg，且cosπ=-1＜lgπ
∴在区间[0，π]上，两个图象有一个交点
又∵当x∈（π，3π）时，lgx∈（0，1），
而cosx在（π，2π）上为增函数，在（2π，3π）上为减函数，最大值为1
∴在区间（π，3π）上，两个图象有两个交点
而当x≥3π时，易得在[3π，10]上两个图象没有交点
由于在区间（10，+∞）上，lgx＞1恒成立而cosx≤1，两个图象也没有交点
∴两图象在x≥3π时没有交点．
综上所述，当x≥0时，y=cosx与y=lg|x|的有3交点，得cosx=lg|x|有三个不同的根
结合两个函数均为偶函数，得当x＜0时，cosx=lg|x|也有三个不同的根，故方程cosx-lg|x|=0的根的个数为6
故选：D
点评：本题给出关于余弦函数、对数函数的一个方程，讨论方程根的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、根的存在性定理和对数、三角函数值的计算等知识，属于中档题．