Question

6．已知关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范围为（-∞，-6]∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质可得ac=-1，ab=1，再根据则$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$=（a-b）+$\frac{9}{a-b}$，利用基本不等式求得它的范围．

解答 解：根据关于x的一元二次不等式ax²+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，
可得a＞0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=-$\frac{1}{a}$=c，△=4-4ab=0，∴ac=-1，ab=1，∴c=-$\frac{1}{a}$，b=$\frac{1}{a}$．
则$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$=$\frac{{（a-b）}^{2}+9}{a-b}$=（a-b）+$\frac{9}{a-b}$，
当a-b＞0时，由基本不等式求得（a-b）+$\frac{9}{a-b}$≥6，
当a-b＜0时，由基本不等式求得-（a-b）-$\frac{9}{a-b}$≥6，即（a-b）+$\frac{9}{a-b}$≤-6
故$\frac{{{a^2}+{b^2}+7}}{a+c}$（其中a+c≠0）的取值范围为：（-∞，-6]∪[6，+∞），
故答案为：（-∞，-6]∪[6，+∞）．

点评 本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．