Question

已知

m

=(

3

，1)，

n

=(cos

x

3

，-sin

x

3

)，记f(x)=2(

m

•

n

)sin

x

3

．
（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：由题意先对f(x)=2(

m

•

n

)sin

x

3

进行化简变形得到f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1
（1）x∈[0，π]，代入求得相位的取值范围，再由正弦函数的性质求得值域；
（2）由f（C）=1，及b²=ac，进行化简整理得出关于sinA的方程，再求出sinA的值

解答：解：f(x)=2

m

n

sin

x

3

=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1（3分）
（1）∵x∈[0，π]，
∴

2

3

x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
所以函数f（x）的值域为[0，1]（5分）
（2）f(C)=2sin(

2

3

C+

π

6

)-1=1，C∈(0，π)，所以C=

π

2

∵b²=ac，
∴c²-a²=ac，
∴sin²A+sinA-1=0（8分）
∴sinA=

5 -1

2

（10分）

点评：本题考查三角恒等变化与化简求值，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，对解析式进行化简，再由正弦函数的性质求值，本题考查了函数与方程的思想及运算变形的能力，是三角函数中有一定综合性的题．