Question

若=，=（sinωx，sinωx），其中ω＞0，记函数f（x）=2•，f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离为，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调减区间和f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．

Answer 1

解：∵=，=（sinωx，sinωx）
∴•=sinωxcosωx+sin²ωx=sin2ωx+（1-cos2ωx）
故f（x）=2•==…（4分）
（1）∵f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离为
∴可得，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x-）+1
由，可得
∴f（x）的单调减区间为…（8分）
当2x-=（k∈Z），即x=时，函数的最大值f_max（x）=3
∴f（x）的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为…（12分）
分析：（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简得f（x）=，再由正弦函数周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根据正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调减区间．再根据正弦函数的值域和函数取最大值时x的取值，解关于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．
点评：本题以向量的数量积运算为载体，给出三角函数式求函数的单调区间和周期，并求取得最大值时x的取值集合，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．