Question

已知向量与．
（Ⅰ）若在方向上的投影为，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量与的夹角为锐角；
命题q：，其中向量，=（）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在方向上的投影的表达式是，由此得出关于λ的方程，解出即可．
（Ⅱ）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则pq中一真一假，分类求解，再合并即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知，在方向上的投影=，即=．
所以1-2λ=5，∴λ=-2．
（Ⅱ）1°，若p为真，则＞0，且，即1-2λ＞0，且λ≠-2．
2°若p为真，由得λ²-cos²α=λ+2sinα，
∴λ²-λ=cos²α+2sinα=1-sin2α+2sinα=-（sinα-1）²+2．
∵-1≤sinα≤1，∴-2≤λ²-λ≤2，∴-1≤λ≤2．
若p真q假，则∴λ＜-1且λ≠-2．
若p假q真，则∴≤λ≤2
综上得λ∈（-∞，-2）∪（-2，-1）∪[，2]．
点评：本题考查向量投影的计算，复合命题真假性的判断，考查分类讨论、转化、计算能力．