精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

正实数a、b、c是等差数列，函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点，则x₁•x₂的符号是（填正或负），其取值范围是．

正 $\text{[math]}$
分析：（1）令f（x）=0得到一个一元二次方程，根据韦达定理得到两根之积大于0即可；
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，令f（x）=0根的判别式大于0即 $\text{[math]}$ -4ac＞0①且a，b，c成等差数列即2b=a+c②，将②代入①化简求出x₁•x₂的范围即可．
解答：（1）令f（x）=0，得到ax²+bx+c=0为一个一元二次方程，
根据韦达定理可知x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，因为a＞0且c＞0得到x₁•x₂的符号为正；
（2）由题知a、b、c是等差数列，则2b=a+c即b= $\text{[math]}$ ，
因为函数图象与x轴有两个交点，得到△=b²-4ac＞0，
即 $\text{[math]}$ -4ac＞0，化简得a²+c²-14ac＞0，两边都除以a²得： $\text{[math]}$ -14• $\text{[math]}$ +1＞0，
设t=x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，则不等式变为：t²-14t+1＞0，
化简得：[t-（7+4 $\text{[math]}$ ）][t-（7-4 $\text{[math]}$ ）]＞0，
所以t＞7+4 $\text{[math]}$ 或t＜7-4 $\text{[math]}$
则x₁•x₂的取值范围是（0，7-4 $\text{[math]}$ ）∪（7+4 $\text{[math]}$ ，+∞）．
故答案为：正，（0，7-4 $\text{[math]}$ ）∪（7+4 $\text{[math]}$ ，+∞）
点评：考查学生灵活运用二次函数图象与性质解决数学问题，灵活运用等差数列的性质及韦达定理化简求值．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．
（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；
（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a²+b²＜4R²；
（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：013

下列语句中，命题的个数是

[　　]

①一个正整数不是质数就是合数；

②过平面内一定点只能作一条直线和已知直线平行吗?

③等边三角形难道不是等腰三角形吗?

④求证：没有实数根．