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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．
    （1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；
    （2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；
    （3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．
    分析：（1）由正弦定理知
    AB
    sinC
    =
    b
    sinB
    =
    a
    sinA
    =2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；
    （2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；
    （3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．
    解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°
    AB
    sinC
    =
    b
    sinB
    =
    a
    sinA
    =2R?b=2
    		2

    sinA=
    1
    2
    ∵A为锐角∴A=30°，B=45°
    ∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=
    		6
    +
    		2
    ；
    （2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1
    cosC=
    a2+b2-c2
    2ab
    ＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2
    即a2+b2＜4R2（8分）
    （3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在
    当
    a=2R
    b＜a
    时，A=90，△ABC存在且只有一个
    ∴c=
    		a2-b2

    当
    a＜2R
    b=a
    时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=
    a
    2R
    时，△ABC存在且只有一个
    ∴c=2RsinC=2Rsin2AC=
    9
    R
    		4R2-a2

    当
    a＜2R
    b＜a
    时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角
    ∴△ABC存在两个
    ∠A＜90°时，
    c=
    		a2+b2+
    ab
    2R2
    (
    		4R2-a2
    		4R2-b2
    -ab)

    ∠A＞90°时，
    c=
    		a2+b2+
    ab
    2R2
    (
    		4R2-a2
    		4R2-b2
    +ab)
    点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．
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