Question

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，a₂=b₁=3，a₅=b₂，a₁₄=b₃．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）令cn=ban，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

分析：（1）由题意，设等差数列公差为d，等比数列公差为q，则 a₁+d=b₁=3 a₁+4d=3q，a₁+13d=3q²，由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）由（1）知cn=ban=3^2n-1=

1

3

×9n．由此能求出T_n．

解答：解：（1）由题意，设等差数列公差为d，
等比数列公差为q，
∵a₂=b₁=3，a₅=b₂，a₁₄=b₃．
∴a₁+d=b₁=3，
a₁+4d=3q，①
a₁+13d=3q²，②
把a₁=3-d分别代入①，②，
解得，q=3或q=1（舍去）
把q=3代入，则d=2，a₁=1，
所以，等差数列的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1，
等比数列的通项公式为b_n=3•3^n-1=3ⁿ．
（2）cn=ban=3^2n-1=

1

3

×9n．
∴Tn= 

1 3 ×9(1-9n)

1-9

=

3

8

(9n-1)．

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．