Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，数列b_n（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

前n项和为T_n，问：T_n＞

1000

2013

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）由条件先求出f（x），再求出数列的前三项，由前三项成等比数列求出c的值，则通项{a_n}可求；判断数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，求出其通项后则可求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求出数列的和，代入不等式可求最小正整数n．

解答：解：（1）因为f（x）=a^x，且f（1）=

1

3

，所以a=

1

3

，所以f（x）=（

1

3

）^x．
所以a₁=f（1）-c=

1

3

-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

．
又数列{a_n}成等比数列，所以a₁=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，所以c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，所以a_n=-

2

3

（

1

3

）^n-1=-2•（

1

3

）ⁿ（n∈N^* ），
所以S_n-S_n-1=（

Sn

+

Sn-1

）（

Sn

-

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
又b_n＞0，

Sn

＞0，所以

Sn

-

Sn-1

）=1，
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴S_n=n²，
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，又其满足b₁=c=1，
所以b_n=2n-1；   
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

∵T_n＞

1000

2013

，∴

n

2n+1

＞

1000

2013

∴n＞

1000

13

∴满足T_n＞

1000

2013

的最小正整数n是77．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，考查学生的计算能力，属于中档题．