Question

（2009•奉贤区一模）已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x （a＞0且，a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：将点（1，

1

3

）代入函数f（x）=a^x 解析式，得a=

1

3

，从而等比数列{a_n}的前n项和S_n=(

1

3

)n-c．利用S_n与a_n关系求出特殊项a₂，a₃，再利用等比数列定义求出a₁，q．
通项公式便可求出．

解答：解：将点（1，

1

3

）代入函数f（x）=a^x 解析式，得a=

1

3

∴f(x)=(

1

3

)x（3分）
∴等比数列{a_n}的前n项和S_n=(

1

3

)n-c
∴a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

     （3分）
又数{a_n}成等比数列，a1= 

a 2 2

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，所以 c=1；  （3分）
又公比q=

a3

a2

=

1

3

，所以   an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)nn∈N*；     （3分）

点评：本题主要考查了函数思想，等比数列的通项公式、定义，S_n与a_n关系的应用．是好题．