Question

（2009•奉贤区一模）已知函数f(x)=

6

x2+1

（1）在直角坐标系中，画出函数f(x)=

6

x2+1

大致图象．
（2）关于x的不等式f（x）≥k-7x²的解集一切实数，求实数k的取值范围；
（3）关于x的不等式f(x)＞

a

x

的解集中的正整数解有3个，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）图象特征大致是过点（0，6）定义域R的偶函数，值域（0，6]，在（0，+∞）单调递减区间，然后画图大致图象即可；
（2）解法一：依题意，将k分离出来，然后利用函数的单调性研究不等式另一侧函数的最小值，从而求出k的范围；
解法二：7x⁴+（7-k）x²+6-k≥0对一切实数恒成立，设x²=t≥0，可转化成函数h（t）=7t²+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立，建立关系式，解之即可；
（3）方法一：依题意有a＞0，所对应方程有两个同号的正根，然后根据韦达定理可知必有一个小的根x₁∈（0，1）则x₂∈（3，4]，利用求根公式建立关系式，解之即可；
方法二：依题意有a＞0，不等式

1

a

＞

1

6

(x+

1

x

)的解集（x₁，x₂），根据函数y=x+

1

x

(x＞0)的性质知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，然后建立关系式，解之即可；
方法三：依题意有a＞0，不等式a＜

6x

x2+1

的解集（x₁，x₂），根据函数y=

6x

x2+1

(x＞0)的性质知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，然后建立关系式，解之即可；
方法四：数形结合，依题意有a＞0，画出符合题意的大致图形，交点的横坐标是方程x2-

6

a

x+6=0的解，然后建立关系式，解之即可．

解答：（理）
解：（1）图象特征大致如下，过点（0，6）定义域R的偶函数，
值域（0，6]，在（0，+∞）单调递减区间
（2）解法一：依题意，变形为k≤

6

x2+1

+7x2对一切实数x∈R恒成立（1分）k≤

6

x2+1

+7(x2+1)-7，设h(x)=

6

x2+1

+7(x2+1)-7，k≤h（x）_min（1分）
h(x)=

6

x2+1

+7(x2+1)-7在[0，+∞）单调递减（可用函数单调性定义证明或复合函数的单调性说明）（4分
h（x）_min=h（0）=6∴k≤6（1分）
解法二：6≥（k-7x²）（x²+1），7x⁴+（7-k）x²+6-k≥0对一切实数恒成立（1分）
设x²=t≥0，h（t）=7t²+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立（1分）；

- 7-k 14 ≤0 f(0)=6-k≥0

∴k≤6（2分）

- 7-k 14 ≥0 f(0)=6-k- (7-k)2 28 ≥0

∴k∈Φ（2分）∴k≤6（1分）
（3）方法一：依题意有a＞0（1分）
不等式变形为ax2-6x+a＜0，x2-

6

a

x+1＜0当△=

36

a2

-4≤0时不合题意，舍去                 （1分）△＞0时a²＜9，∴0＜a＜3（1分）
方程x2-

6

a

x+1=0的有两根x₁，x₂（x₁＜x₂）∵x1x2=1，x1+x2=

6

a

＞2，方程有两个同号的正根，且必有一个小的根x₁∈（0，1）∴x₂∈（3，4]，（2分）∴3＜

6+ 36-4a2

2a

≤4，（1分）
解得不等式

24

17

≤a＜

9

5

（1分）
方法二：依题意有a＞0，（1分）
不等式

1

a

＞

1

6

(x+

1

x

)的解集（x₁，x₂），（1分）
根据函数y=x+

1

x

(x＞0)的性质知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，（2分）
∴

1

6

(3+

1

3

)＜

1

a

≤

1

6

(4+

1

4

)（1分）
所以

24

17

≤a＜

9

5

（2分）
方法三：依题意有a＞0，（1分）
不等式a＜

6x

x2+1

的解集（x₁，x₂），（1分）
根据函数y=

6x

x2+1

(x＞0)的性质知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，（2分）

a≥ 24 4^+1 a＜ 18 9+1

（1分）
所以

24

17

≤a＜

9

5

（2分）
方法四数形结合
依题意有a＞0，（1分）
画出符合题意的大致图形
交点的横坐标是方程x2-

6

a

x+6=0的解（2分）x2=4=

6+ 36-4a2

2a

=4，a=

24

17

x2=4=

6+ 36-4a2

2a

=3，a=

9

5

（2分）
所以

24

17

≤a＜

9

5

（2分）

点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及不等式恒成立问题，同时考查了数形结合，利用函数单调性求函数的最值等有关问题，属于中档题．