如图，已知椭圆
的离心率为
，且经过点
平行于
的直线
在
轴上的截距为
，与椭圆有A、B两个
不同的交点
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 求
的取值范围；
（III）求证:直线
、
与
轴始终围成一个等腰三角形．
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查转化与化归的思想方法,以及学生的运算能力.
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
………1分
离心率为
所以
,
可得
由经过点
,
解得
,
…………………………3分
∴椭圆方程为
……………………………4分
（Ⅱ）∵直线
平行于
，且在
轴上的截距为
又
……………………………………………………5分
由
……………………………………6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（III）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分
设
则
由
……………………………………………………10分
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分
高中必刷题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分13分）
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的
左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭
圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点
分别 为
和
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源：2012届山西大学附中高三4月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本小题满分12分）如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为
、
，证明
；
（Ⅲ）是否存在常数
，使得
恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源：2013届度黑龙江龙东地区第一学期高二期末理科数学试卷 题型：解答题
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为
。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程
（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1
（Ⅲ）是否存在常数
，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
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