如图,已知椭圆的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为
。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明:k1·k2=1
(Ⅲ)是否存在常数,使得|AB|+|CD|=
|AB|·|CD|恒成立?若存在,求
的值,若不存在,请说明理由。
(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为,得
,又
,所以可解得
,
,所以
,
所以椭圆的标准方程为;
……………1
所以椭圆的焦点坐标为(,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为
。
……………4
(Ⅱ)设点P(,
),则
=
,
=
,所以
=
,
……………6
又点P(,
)在双曲线上,所以有
,即
,所以
=1。
……………8
(Ⅲ)假设存在常数,使得
恒成立,则由(Ⅱ)知
,所以设直线AB的方程为
,则直线CD的方程为
,
由方程组消y得:
,设
,
,
则由韦达定理得:
……………9
所以|AB|==
,同理可得 ……………10
|CD|==
=
, ……………11
又因为,所以有
=
+
=,所以存在常数
,使得
恒成立。
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分12分)
如图,已知椭圆的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、
的斜率分别为
、
,证明
;
(Ⅲ)是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分13分)
如图,已知椭圆的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的
左、右焦点为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭
圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点
分别 为和
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、
的斜率分别为
、
,证明
;
(Ⅲ)是否存在常数,使得
恒成立?
若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2012届山西大学附中高三4月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)如图,已知椭圆的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)设直线、
的斜率分别为
、
,证明
;
(Ⅲ)是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2013届广东省高二下期中文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,已知椭圆的离心率为
,且经过点
平行于
的直线
在
轴上的截距为
,
与椭圆有A、B两个
不同的交点
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 求的取值范围;
(III)求证:直线、
与
轴始终围成一个等腰三角形.
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