Question

（2011•韶关模拟）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x元/本（9≤x≤11），预计一年的销售量为（20-x）²万本．
（1）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价x的函数关系式；
（2）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L最大，并求出L的最大值R（m）．

Answer 1

分析：（1）该出版社一年的利润L（万元）为每本书的利润与一年的销售量的积，故可得函数解析式；
（2）求导函数，确定导数的符号，进而分类讨论确定函数的最值．

解答：解：（1）该出版社一年的利润L（万元）与每本书定价x的函数关系式为：L=（x-5-m）（20-x）²，x∈[9，11]．…（4分）
（2）求导函数可得L′（x）=（20-x）（30+2m-3x）．…（6分）
令L′=0得x=10+

2

3

m或x=20（不合题意，舍去）．…（7分）
∵1≤m≤3，∴

32

3

≤10+

2

3

m≤12．
在x=10+

2

3

m两侧L′的值由正变负．
所以①当

32

3

≤10+

2

3

m＜11，即1≤m＜

3

2

时，L_max=L（10+

2

3

m）=4（5-

m

3

）³．…（9分）
②当11≤10+

2

3

m≤12，即

3

2

≤m≤3时，L_max=L（11）=81（6-m），…（11分）
所以R（m）=

4(5- m 3 )3，1≤m＜ 3 2 81(6-m)， 3 2 ≤m≤3

答：若1≤m＜

3

2

，则当每本书定价为10+

2

3

m元时，出版社一年的利润L最大，最大值R（m）=4（5-

m

3

）³（万元）；若

3

2

≤m≤3，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润L最大，最大值R（m）=81（6-m）（万元）．…（14分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是确定函数的模型，属于中档题．