Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=

3

．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此多面体的体积．

Answer 1

分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，结合三角形中位线定理，可得AB∥FP，且AB=FP，进而得到AF∥BP，结合线面平行的判定定理，即可得到AF∥平面BCE；
（2）由已知中AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=

3

，我们可以判断△ACD为正三角形，则AF⊥CD，又由已知可得DE⊥AF，根据线面垂直的判定定理，可得AF⊥平面CDE，进而根据面面平行的判定定理，得到平面BCE⊥平面CDE；
（3）多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，求出棱锥的高及底面面积，然后代入棱锥的体积公式，即可求出答案．

解答：证明：（1）取CE中点P，连接FP、BP，

∵PF∥DE，且FP=1
又AB∥DE，且AB=1，
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．（2分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE（4分）
（2）证明：∵AD=AC，F是CD的中点，AF=

3

．
所以△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE（6分）
又BP∥AF，
∴BP⊥平面CDE
又∵BP平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE（8分）
（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高V=

1

3

×

1

2

×2×(1+2)×

3

=

3

（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．