Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；
（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据两个平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α．直角三角形EAF中，根据tanα=

AE

AF

运算求得结果．
（Ⅲ）建立空间坐标系，求得得A、B、D、F、E的坐标，可得，

EF

和

BD

的坐标，求得 cosβ=

EF • BD

| EF |•| BD |

的值，可得异面直线EF与BD所成的角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且AD是平面ABCD和平面PAD的交线，
PA在平面PAD内，∠PAD=90°，
根据两个平面垂直的性质定理可得 PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AF，则∠AFE即为α．
直角三角形EAF中，tanα=

AE

AF

=

1 2

1+ 1 4

=

5

5

．
（Ⅲ）设正方形的边长为2，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，
以AP所在的直线为z轴，建立空间坐标系，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0）、F（1，2，0）、E（0，0，1），
∴

EF

=（1，2，-1）、

BD

=（-2，2，0），∴cosβ=

EF • BD

| EF |•| BD |

=

-2+4+0

6 • 8

=

3

6

，
故异面直线EF与BD所成的角的余弦为

3

6

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面成的角、异面直线成的角的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．