Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．
（Ⅰ）求证：AD∥MN；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面ADMN．

Answer 1

分析：（1）先证BC∥平面ADMN，后利用线面平行性质定理得到MN∥BC，再由平行公里即可得到AD∥MN；
（2）取AD中点O，连接BO，PO，可证AD⊥平面POB．可得AD⊥PB，再利用PB⊥AN，得到PB⊥平面ADMN，即可得证平面PBC⊥平面ADMN．

解答：解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADMN，BC?平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN，
∵MN=平面ADMN∩平面PBC，BC?平面PBC，
∴BC∥MN．
又∵AD∥BC，∴AD∥MN．
（2）取AD中点O，连接BO，PO，
∵侧面PAD是正三角形，∴AD⊥PO，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴AD⊥OB，
又PO∩BO=O，
∴AD⊥平面POB．
∵PB?平面POB
所以AD⊥PB，
又PB⊥AN，AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN
又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与直线平行，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．